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数制（计数制）

多位数码的构成方式及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，即进制，如十进制、二进制、八进制、十六进制等

  1. 数码（数元）：数制中用来表示数据的数字符号

  2. 基数（基）：数制所使用的数码个数，常用"R"表示，称为R进制。一般在右下标明或后加大写字母符号，十进制可省略。

  3. 位权：数码在第i位上的权值，整数部分为\(R^{(i-1)}\), 小数部分为\(R^{-i}\)

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数制 符号 基数R 数码 位权
十进制 D (Decimal) 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \(10^{(i-1)}\) 或 \(10^{-i}\)
二进制 B (Binary) 2 0, 1 \(2^{(i-1)}\) 或 \(2^{-i}\)
八进制 O (Octonary)或Q 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \(8^{(i-1)}\) 或 \(8^{-i}\)
十六进制 H (Hexadecimal) 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F \(16^{(i-1)}\) 或 \(16^{-i}\)

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  1. 计算机内部所有数据、文件或指令的传送、储存、处理都是通过二进制码进行的 (1)物理上容易实现； (2)运算简单； (3)可靠性高； (4)易于实现逻辑运算。
  2. 在计算机程序编写中，为了书写方便，会采用十六进制

进制转换

可参考进制转换工具及文章网站：在线进制转换 | 进制转换器 — 在线工具 (sojson.com) 可自行练习，通过此工具验证自己的计算结果

十进制转R进制

整数部分：除R倒序取余，直至商为0

小数部分：乘R顺序取整，直至小数部分为0或满足精度（可能较长，根据精度取舍）

结果 = 整数部分 + 小数部分

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R进制转十进制

每一位进制数乘以位权后相加（按权展开、相加)

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二进制转八、十六进制

整数部分从右往左，小数部分从左往右，转八进制以3位二进制数为一组（取三合一），转十六进制以4位二进制数为一组（取四合一）；不足时，整数部分最高位补0，小数部分最低位补0（保证补0后位权不变）。将每组二进制数转化为十进制，每组十进制数组合在一起即为对应进制数

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八、十六进制转二进制

将每位进制数以十进制转二进制，八进制每位数转为3位二进制数（取一分三），十六进制每位数转为4位二进制数（取一分四），不足左边补0（保证补0后各位权不变），组合在一起即为对应二进制数

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八进制与十六进制互转

  1. 八进制/十六进制 → 十进制 → 十六进制/八进制

  2. 八进制/十六进制 → 二进制 → 十六进制/八进制

进制运算

算术运算

逢R进1，借1当R（参考十进制）

  1. 加法

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  1. 减法

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  1. 乘法

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  1. 除法

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逻辑运算

  1. 逻辑与、逻辑乘（&，and，^）：有0即为0，否则为1

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  1. 逻辑或、逻辑加（|，or，v）：有1即为1，否则为0

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  1. 逻辑非、取反（!，not）：#1 = 0, !0= 1

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  1. 逻辑异或（^，xor）：同0异1

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  1. 逻辑同或（xnor）：同1异0，编程语言无该运算，通过异或实现

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数据单位

  1. 二进位、位、比特（b，bit）：一个二进制位，只有两个取值0和1，无大小之分 存储数据的最小单位、组成数字信息的最小单位 如 1011 为4 位或4 bit、4 b

  2. 位模式（位流）：多个位组成一个位模式 如 1011 为长度为4的位模式

  3. 字节（B，Byte）：长度为8的位模式 存储信息的基本单位、数据处理的最小单位 如 10111010 为1字节或1 B 1 B = 8 bit

  4. 字：是CPU一次处理的数据，通常由**一个字节或若干个字节**组成 字长：计算机一次能处理的实际位数长度，衡量计算性能 如 计算机的32位和64位处理器，64位处理器一次提取8个字节的数据，而32位则一次提取4个字节的数据

进制 应用 单位换算
二进制 内存、外存（操作系统显示）、cache、半导体存储器芯片、文件和文件夹大小 1 KB（千字节） = \(2^{10}\) B = 1024 B
1 MB（兆字节、兆） = \(2^{20}\) B = 1024 KB
1 GB（吉字节、千兆） = \(2^{30}\) B = 1024 MB
1 TB（太字节） = \(2^{40}\) B = 1024 GB
PB（拍字节）、EB（艾字节）、ZB（泽字节）、YB（尧字节）、BB
十进制 外存（厂商标注） 1 KB（千字节） = \(10^{3}\) B = 1000 B
1 MB（兆字节、兆） = \(10^{6}\) B = 1000 KB
1 GB（吉字节、千兆） = \(10^{9}\) B = 1000 MB
1 TB（太字节） = \(10^{12}\) B = 1000 GB
PB（拍字节）、EB（艾字节）、ZB（泽字节）、YB（尧字节）、BB
频率（Hz） 1 KHz = $10^{3} $ Hz = 1000 Hz
1 MHz = \(10^{6}\) Hz = 1000 KHz
1 GHz = \(10^{9}\) Hz = 1000 MHz
传输速率（b/s、bps） 1 Kb/s = \(10^{3}\) b/s = 1000 b/s
1 Mb/s = \(10^{6}\) b/s = 1000 Kb/s
1 Gb/s = \(10^{9}\) b/s = 1000 Mb/s
1 Tb/s = \(10^{12}\) b/s = 1000 Gb/s

整数表示法

假设一个字长为8的计算机，即只能处理8位二进制数的运算。已知**计算机只有加法器，没有减法器，减法只能通过加法实现**，即5 - 5 = 0，计算机只能通过5 +（-5）= 0实现。

5的二进制表示为\(101_{(2)}\)，若直接将其存入计算机中，则为0000 0101，此即无符号整数原码。为了存储负数，首先提出了将**最高位作为符号位，以符号位为0代表正数，符号位为1代表负数**。因此，5的内部表示仍为0000 0101，而-5的内部表示则为1000 0101，此即带符号整数原码。此时若作运算：5 + (-5) = 0000 0101 + 1000 0101 = 1000 1010 = -10，与已知事实不符。

后继提出了**反码，即原码符号位保持不变，非符号位取反**，但**正数的反码等于原码**。则5的反码仍为0000 0101，-5的反码为1111 1010。此时若作运算：5 + (-5) = 0000 0101 + 1111 1010 = 1111 1111，将结果再次转为原码: 1000 0000，即最终运算结果为-0，为非常规数。

正是由于原码和反码用于运算存在错误，而且原码中0000 0000表示+0, 1000 0000表示-0，反码中0000 0000表示+0和 1111 1111表示-0，与常识不符，因此不适合使用原码和反码来存储和处理数据。

最后提出了**补码，即反码+1**，但**正数的补码也等于原码**。则5的补码仍为0000 0101，而-5的补码为1111 1011。此时若做运算：5 + (-5) = 0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000，由于只能处理8位，所以最高位1溢出被忽略，结果为0000 0000，原码=补码，与事实相符。

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所以，目前**计算机内部都是以补码的形式存储和处理数据，但最终结果是以原码形式呈现**，即运算通过补码进行，得到的结果也是补码，但最终输出需要将补码转换为原码才是我们所能理解的计算结果。

| 二进制 | 无符号数| 带符号数|||| |-|-|-|-|-|-| |||作为原码|作为反码|作为补码|作为移码| |0000 0000|0|+0|+0|0|-128| |0000 0001|1|1|1|1|-127| |......|......|......|......|......|......| |0111 1111|127|127|127|127|-1| |1000 0000|128|-0|-127|-128|0| |1000 0001|129|-1|-126|-127|1| |......|......|......|......|......|......| |1111 1110|254|-126|-1|-2|126| |1111 1111|255|-127|-0|-1|127|

无符号整数

无符号位，每一位都用来存储数据，空位补0，一共可表示\(2^{n}\)个无符号整数，范围为**0 ~ \(2^{n}-1\)**，若该无符号整数超过了该范围，高位将会发生溢出，仅保留低位的n位

8位无符号整数的范围为 0000 0000 ~ 1111 1111，代表0 ~255，若用来表示256（1 0000 0000），则最高位溢出无法处理，只保留0000 0000，最终表示0（类似于0～255的钟表，过了255重新循环）

带符号整数（定点整数）

小数点位置默认固定隐含在最低位右侧，实际并不储存，用于表示**纯整数**

（注：下图中n代表的是数值部分的位数，不是字长）

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真值：带符号的数，一般书写表示的数

机器数（机器码）：符号数字化的数，计算机内部编码的数，通过原码、反码、补码、移码等表示。最高位为符号位，1表示负数，0表示正数，其余n-1个存储位用来存储数据，整数高位补0，小数低位补0，共可表示\(2\times2^{n-1} = 2^{n}\)个有符号整数

如： +10 → 真值\(x\)：+1010 → 原码\([x]_{原}\)：0000 1010 - 10 → 真值\(x\)：- 1010 → 原码\([x]_{原}\)：1000 1010

  1. 原码 代表的范围为 ****\(-(2^{n-1} -1)\) ~ \(\pm0\) ~ \((2^{n-1} - 1)\)，8位有符号整数原码范围为 11111111 ~ 100000000 ~ 00000000 ~ 01111111（-127 ~ ±0 ~ +127） +10 → \(x\)：+1010 → \([x]_{原}\) = \(x\) = 0000 1010
  • 10 → \(x\)：- 1010 → \([x]_{原}\) = \(2^{7} + \mid -1010 \mid\) = 1000 0000 + 1010 = 1000 1010

\([x]_{原} = \begin{cases}x & 2^{n-1}>x\geq 0\\2^{n-1}-x = 2^{n-1}+\mid x \mid & 0 \geq x > -2^{n-1}\end{cases}\)

  1. 反码 代表的范围为 \(-(2^{n-1} -1)\) ~ \(\pm0\) ~ \((2^{n-1} - 1)\)，8位有符号整数反码范围为1000 0000 ~ 1111 1111 ~ 0000 0000 ~ 0111 1111（-127 ~ ±0 ~+127） +10 → \([x]_{原}\) = 0000 1010 → \([x]_{反} = [x]_{原}\) = 0000 1010
  • 10 → \([x]_{原}\) = 1000 1010 → \([x]_{反} =\) 1111 0101
  • 10 → \(x\) = -1010 → \([x]_{反}\) = \((2^{8}-1)\) - 1010 = 1111 1111 - 1010 = 1111 0101

  1. 正数：反码 = 原码

  2. 负数：符号位不变，非符号位取反 (= 1111 1111 + \(x\))

\([x]_{补} = \begin{cases}x & 2^{n-1}>x\geq 0\\(2^{n}-1)+x = (2^{n}-1)- \mid x \mid & 0 \geq x > -2^{n-1}\end{cases}\)

  1. 补码 代表的范围为**\(-2^{n-1}\sim(2^{n-1}-1)\)，8位有符号整数补码范围为1000 0000 ~ 1111 1111 ~ 0000 0000 ~ 0111 1111（-128 ~ -1 ~ 0 ~ 127）。补码的优点是能多表示一个负数\(-2^{n-1}\)，且仅保留一个0。**补码与原码互补 +10 → \([x]_{原}\) = 0000 1010 → \([x]_{补} = [x]_{原}\) = 0000 1010
  • 10 → \([x]_{反}\) = 1111 0101 → \([x]_{补} = [x]_{反}\)末位 + 1 = 1111 0101 + 1 = 1111 0110
  • 10 → \(x\) = -1010 → \([x]_{补}\) = \(2^{8}\) - 1010 = 1 0000 0000 - 1010 = 1111 0110

  1. 正数：补码 = 原码

  2. 负数：补码 = 反码末位 + 1 (= 1 0000 0000 + \(x\))

\([x]_{补} = \begin{cases}x & 2^{n-1}>x\geq 0\\2^{n}+x = 2^{n}- \mid x \mid & 0 > x \geq -2^{n-1}\end{cases}\)

补码的概念类似于生活中的时钟（12h制）。例如现在为6时，若想到3时，可以有6-3=3时，也可以是6+9=3时，此时可以说+9是-3以12为模的补数，即可实现以加法代替减法 模是指一个计量系统的计数范围，时钟的计量范围是1~12，模=12。表示n位的计算机计量范围是**0 ~ \(2^{n}-1\)**，模=\(2^{n}\) 1. 一个负数加上模即得该负数的补数 2. 一个正数和一个负数互为补数时，他们的绝对值之和即为模

  1. 移码 代表的范围为**\(-2^{n-1}\sim(2^{n-1}-1)\)，8位有符号整数移码范围为0000 0000 ~1111 1111（-128 ~ 127）。优点是能够直接判断真值大小。一般用于表示浮点数的阶码。 **移码 = 补码符号位取反

\([x]_{移} = 2^{n-1} + x, 2^{n-1}>x\geq-2^{n-1}\)

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已知任意数Y求其8位原码：绝对值转二进制，高位补0足8位，确定符号位 +10的原码：绝对值转二进制 → 1010，高位补0足8位 → 0000 1010，正数最高位为0 → 0000 1010 - 10的原码：绝对值转二进制 → 1010，高位补0足8位 → 0000 1010，负数最高位为1 → 1000 1010

**已知负数(-X)求其8位补码：反码末位 + 1 -10的补码：原码 → 1000 1010，反码 → 11110101，+1 → 1111 0110

已知负数(-X)求其8位补码：\(2^{n} + x\) -10的补码：\(x\)：-1010 → 计算\(2^{8}\) - 1010 = 1 0000 0000 - 1010 = 1111 0110 -128的补码：\(x\)：-1000 0000 → 计算\(2^{8}\) - 1000 0000 = 1 0000 0000 - 1000 0000 = 1000 0000**

**已知8位补码求负数(-X)：补码的补码，即符号位不变取反末位+1得原码，二进制转十进制（符号位不算） 1111 0110 → 1000 1001 → 1000 1010 → -10

已知8位补码求负数(-X)：逆运算，即末位-1符号位不变取反得原码，二进制转十进制（符号位不算） 1111 0110 → 1111 0101 → 1000 1010 → -10

已知8位补码求负数(-X)：\([x]_{补}\) - \(2^{n}\) 1111 0110 → 246 → 246 - \(2^{8}\) → -10 1000 0000 → \(2^{7}\) → \(2^{7}\) - \(2^{8}\) = -128**

定点小数表示法

小数点默认固定隐含在符号位右侧，实际并不储存，用于表示**纯小数**，如0.75、0.1222、0.5等

定点小数的表示方法有原码、反码、补码，转换方式同定点整数(公式中n=1)，仅二进制位权不同，低位补0

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  1. 原码：\(-(1-2^{1-n})\) ≤ x ≤ \(1-2^{1-n}\)

  2. 反码：\(-(1-2^{1-n})\) ≤ x ≤ \(1-2^{1-n}\)

  3. 补码：-1 ≤ x ≤ \(1-2^{1-n}\)

二进制 作为原码 作为反码 作为补码
0.000 0000 +0 +0 0
0.000 0001 \(2^{-7}\) \(2^{-7}\) \(2^{-7}\)
...... ...... ...... ......
0.111 1111 1-\(2^{-7}\) 1-\(2^{-7}\) 1-\(2^{-7}\)
1.000 0000 -0 -(1-\(2^{-7}\)) -1
1.000 0001 \(-2^{-7}\) -(1-\(2^{-6}\)) -(1-\(2^{-7}\))
...... ...... ...... ......
1.111 1110 -(1-\(2^{-6}\)) -\(2^{-7}\) -\(2^{-6}\)
1.111 1111 -(1-\(2^{-7}\)) -0 \(-2^{-7}\)

+0.75 真值：+0.11 原码：0.110 0000 反码：0.110 0000 补码：0.110 0000

  • 0.75 真值：-0.11 原码：1.110 0000 反码：1.001 1111 = 1.111 1111 -0.11 补码：1.010 0000 = 1 0.000 0000 - 0.11

浮点数表示法

浮点数即实数，是指机器数表示中小数点位置不固定的数，能够在位数不变的情况下增加数据表示范围，包括整数部分和小数部分，但在计算机中存储只存储数值和小数点在数值中的位置。

科学计数法

\(N = M \times r^{E}\)

r：\(R^{i}\)（i≥1，一般为1），无需存储

E：阶码，反映数值范围大小及小数点的实际位置。计算机中常为补码或移码表示的定点整数（纯整数）

M：尾数，数值部分位数反映精度。位数越多，精度越高。计算机中常为原码或补码表示的定点小数（纯小数）

十进制：+302657264526 = \(+3.026 \times 10^{11}\)，+11为阶码，+3.026为尾数

二进制：+0.375 = + 0.011B =$ + 0.00011 \times 2^{2}B$ =$ +0.00011 \times 2^{10}B$，+10为阶码，+0.00011为尾数

         +0.375 = + 0.011B = $+0.11\times2^{-01}B$ ，-01为阶码，+0.11为尾数

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假设一个8字长的计算机，阶码共3位，阶符1位，尾数共5位，数符1位，将+0.375进行存储，均以补码形式，以上述第一种为例 阶码 真值：+10 → 原码：010 → 补码：010 尾数 真值：+0.00011 → 原码：0.0001（低位1丢弃） → 补码：0.0001

结果：01000001 结果 → 浮点数：\(+0.0001 \times 2^{10}\) = +0.01 = +0.25

可见结果丧失了精度，因此浮点数存储时尾数还需要规格化

尾数规格化

当尾数数值部分的最高位为无效值0时，结果会丧失精度。因此，规格化浮点数即尾数最高数值位必须为一个有效值1，即\(±0.1xxxx \times r^{E}\)

上述+0.375的第二种表示即为规格化表示，相对于第一种，数值部分向左移了3位，阶码减3，这叫左规。

  1. 左规 尾数算数左移或者小数点右移，每移1位，阶码-1

  2. 右规 尾数算数右移或者小数点左移，每移1位，阶码+1

IEEE 754标准

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该标准中，阶码用移码表示，在移码的定义中：移码 = 真值 + 偏置值

如-46.375 = -101110.011 B = \(-1.01110011 \times 2^{5} B\) = \(-1.01110011 \times 2^{101} B\)，转换为单精度浮点数表示： 数符：1（负数） 尾数M ： 1.01110011000000000000000 B 阶码E ：101 B + 01111111 B = 1000 0100 B 结果：11000010001110011000000000000000 B

如单精度浮点数C0A00000 H，表示的浮点数： 二进制：11000000101000000000000000000000 B 数符：1（负数） 尾数M：1.01000000000000000000000 B 阶码：10000001 B - 01111111 B = 10 B 结果：\(-1.01 \times 2^{10} B\) = \(-1.01 \times 2^{2} B\) = -101 B = -5.0

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